arXiv cs.AI· Ethan Hsu, Hong Meng Yam, Ivan Ge·· 10 小时前AI 评分31
MC²：用蒙特卡洛校正实现快速椭圆 PDE 求解
MC$^2$: Monte Carlo Correction for Fast Elliptic PDE Solving
AI 导读
MC² 是一种神经网络与蒙特卡洛混合的 PDE 求解器，把低采样预算的蒙特卡洛解当作结构化估计，用单次前向传播的神经网络校正恢复高保真解，精度相当于使用超过 1000 倍蒙特卡洛样本的解法。
正文 · AI 翻译
摘要：偏微分方程（PDE）求解器是现代计算机图形学、几何处理和科学计算的基础。经典的蒙特卡洛 PDE 求解器，如 Walk-on-Spheres（WoS），提供无网格估计，是无偏的，但精度受采样和数值近似的限制。学习型求解器速度快，但在分布偏移下存在偏差且脆弱。因此，我们提出 MC$^2$，一种混合神经网络-蒙特卡洛 PDE 求解器，它将低预算的蒙特卡洛解视为真实场的结构化估计器，并学习单次神经网络校正以恢复高保真解。MC$^2$ 的精度与使用超过 $1000\times$ 更多蒙特卡洛样本的解相当，优于所有评估的无网格经典、去噪和神经算子基线。为了能够对有限计算量的 PDE 求解进行可重复研究，我们还发布了 PDEZoo，这是迄今为止最大的标准化椭圆 PDE 基准：200 万个 PDE，涵盖 5 个椭圆族和无限几何组合，具有解析真值和多预算蒙特卡洛轨迹。MC$^2$ 和 PDEZoo 共同 (1) 经验性地确立了有限样本蒙特卡洛误差是结构化的、可学习的，并且可以在单次前向传播中校正，(2) 表明我们可以在匹配精度下比 WoS 求解 PDE 快 $\sim$218$\times$，并且相对于最先进的扩散方法，在获得更高精度的同时实现推理时间减少 $\sim$171$\times$，以及 (3) 提供了该领域迄今为止缺乏的可重复评估基础设施。
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| 评论： | 被 NeurIPS 2026 接收 |
| 主题： | 机器学习（cs.LG）；人工智能（cs.AI）；计算工程、金融与科学（cs.CE）；计算机视觉与模式识别（cs.CV）；数值分析（math.NA） |
| 引用为： | arXiv:2605.09288 [cs.LG] |
| （或 arXiv:2605.09288v2 [cs.LG] 为此版本） | |
| https://doi.org/10.48550/arXiv.2605.09288 arXiv 颁发的 DOI 通过 DataCite |
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2026年5月10日星期日 03:32:46 UTC（5,635 KB）
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2026年11月10日星期二 02:30:51 UTC（7,172 KB）
来源：arXiv cs.AI · arxiv.org