用 AI（Claude）辅助证明 Mertens 函数新界：lim sup M(x)/√x > 1.92036

Mertens 函数的认证界：lim sup M(x)/√x > 1.92036 且 lim inf M(x)/√x < −1.92053

设 M(x) = Σ_{n≤x} μ(n) 为 Mertens 函数。本仓库证明

lim sup_{x→∞} M(x)/√x > 1.9203693129093421 且 lim inf_{x→∞} M(x)/√x < −1.9205369736317600，

无条件成立。它在两侧都改进了此前已发表的最佳界 1.826054 和 −1.837625（Hurst，2018）。

年份	作者	lim sup M(x)/√x >	lim inf M(x)/√x <
1985	Odlyzko, te Riele	1.06	−1.009
2006	Kotnik, te Riele	1.218	−1.229
2015	Best, Trudgian	1.6383	−1.6383
2018	Hurst	1.826054	−1.837625
2026	本工作	1.920369	−1.920536

Best 和 Trudgian 用 ≥ 和 ≤ 陈述他们的界；其余为严格不等号。来源与位置：THEOREM.md。

两份证书

搜索运行了两次：一次用于主要结果（2026-10-09，无时间证据），一次针对一个事先无人能知晓的全新公开挑战（2026-10-11，带时间戳）。每份证书本身都是独立的证明；主要结果是更强的那一个。

	主证书	带时间戳的证书
发现于	2026-10-09	2026-10-11，drand 第 6542728 轮
lim sup M(x)/√x >	1.9203693129093421	1.918889
lim inf M(x)/√x <	−1.9205369736317600	−1.915021
文件	points/、results/	timing/certificate.json
时间证据	无	距挑战发布至多 65 分 52 秒；RFC 3161 时间戳和 Bitcoin 锚定（时间证据）
机器	同一台机器（时间未验证）	AMD Ryzen 7 9700X、NVIDIA GeForce RTX 4070 SUPER、31 GB RAM
检查	`python verify/verify_bound.py`（以及 `verify_bound_mpmath.py`）	`python timing/verify_timing.py --online`

对于 2026-10-09 那次运行，我们只有内部的、未经核实的时间记录，而且那里列出的步骤时间不包含一个约 13 分钟的步骤。因此我们报告的唯一时间就是带时间戳的那个。

自行检查（主检查约 25 秒）

pip install numpy python-flint mpmath     # FLINT/Arb ball arithmetic; mpmath for the second verifier
cd verify && python verify_bound.py       # two rigorous enclosures, then "all requested claims verified: plus, minus"
python regenerate_zeros.py sample 20      # recomputes random zeros of ζ and compares them with the data
python verify_bound_mpmath.py            # optional: the same check with mpmath, no FLINT (about 30 minutes)

预期输出：

h(y₊) ∈ [1.920369312909342168759… ± 5.1·10⁻⁵²]
h(y₋) ∈ [−1.920536973631760094552… ± 4.5·10⁻⁵³]

sha256sum -c SHA256SUMS.txt 检查所有其他文件（除 .gitattributes 和 .gitignore 之外的全部文件）。

证明如何工作

Ingham 定理（1942；采用 Odlyzko 和 te Riele 1985 以及 Hurst 2018 定理 4.2 的形式）。对每个实数 y， lim inf M(x)/√x ≤ h(y, N) ≤ lim sup M(x)/√x。这里 h 是对 Riemann zeta 函数前 N 个零点的一个有限、显式加权的和。
无需任何假设。如果 Riemann 假设不成立，或者 ζ 有重零点，两个极限都会是无穷大。
证书。两个显式点 y₊ 和 y₋（约 4900 位的十进制数，位于 points/）以及 ζ 的前 14 400 个零点及其各自的 ζ′，作为严格球（位于 data/）。
检查。h(y±, 14400) 在球算术中求值。每个舍入误差都被包围，因此打印出的不等式就是一个证明。

任何点 y 都给出一个有效的界。界就是 h 在该点求值的结果，因此验证它不需要知道这些点是如何找到的。完整陈述、假设和参考文献见 THEOREM.md。面向独立验证者的检查清单，包括如何用其他软件重新检查，见 VALIDATION_GUIDE.md。

README.md               this page
THEOREM.md              statement, the theorem used with its hypotheses, proof, references
VALIDATION_GUIDE.md     how to check every part independently
points/                 y₊ and y₋ as exact decimal numbers
data/                   first 14 400 zeros γ and c = 1/(ρζ′(ρ)) as balls (16 384-bit computation), and their format
verify/verify_bound.py  rigorous evaluation of h(y±, 14400), checks the two claims
verify/verify_bound_mpmath.py  the same check with mpmath interval arithmetic (no FLINT)
verify/regenerate_zeros.py  regenerates or spot-checks the zero data with FLINT/Arb
results/                the certificates the verifier produced (JSON)
timing/                 the timed run: challenge, certificate, timestamps, CA certificates, verifiers
SHA256SUMS.txt          checksums of every other file (except .gitattributes and .gitignore)

时间证据

找到 y₊ 和 y₋ 的搜索又运行了一次，针对一个事先无人能知晓的全新挑战。该挑战的证书在挑战发布后至多 3952 秒（65 分 52 秒）内就已存在。


挑战	drand 主网第 6542728 轮，发布于 2026-10-11 10:01:00 UTC（timing/beacon.json）
在其之前提交	未公开搜索代码及搜索所读取的零数据文件的 SHA-256，时间戳为 10:00:39 UTC（timing/commit.json）。该文件是零数据的高精度版本，而非已发布的 `data/zeta_zeros_14400.npz`，因此其哈希与 `SHA256SUMS.txt` 不同；证书使用已发布的数据进行校验。
证书	lim sup M(x)/√x > 1.918889 且 lim inf M(x)/√x < −1.915021，位于所需形式的两个点上（timing/certificate.json）
时间戳	11:06:51 UTC（FreeTSA）和 11:06:52 UTC（DigiCert），RFC 3161，一秒分辨率。两个文件也通过 OpenTimestamps 锚定在比特币中：commit.json 在区块 970906（区块头时间 10:13:16 UTC），certificate.json 在区块 970918（11:15:22 UTC）；可在 timing/ 目录内使用 `python timing/verify_ots.py commit.json.ots certificate.json.ots` 检查，或访问 opentimestamps.org。
机器（如所报告）	AMD Ryzen 7 9700X（8 核；主步骤使用 4 线程），31 GB RAM，NVIDIA GeForce RTX 4070 SUPER（用于一个步骤），Windows 11

挑战如何运作。 该轮的随机值确定两个整数，M（14 位）和 r（timing/derive_challenge.py）。两个证书点必须具有形式 y = r + M·z/1024 + d，其中 M 和 r 相同，z 为整数且 |d| ≤ 1/20。对于本轮，在轮次之前计算出的不动点具有此形式的概率低于 2·10⁻¹²（至多 112 个 M 可能的 r 值）。将这样的点移入该形式会使其移动最多 M/2048 ≈ 3·10¹⁰，这会使每个相位 γ_i·y 改变超过 10¹¹ 弧度；除非该移动恰好是 γ_i 的近似公共周期，否则该界将丢失。

这说明了什么，以及没有说明什么。 在一个不可预测的挑战与两侧均高于 Hurst 的经认证界之间，至多经过了 65 分 52 秒的挂钟时间（FreeTSA 为 65 分 51 秒，DigiCert 为 65 分 52 秒）。该界略弱于主要结果，而主要结果自身的搜索时间未被涵盖。证据仅约束轮次之后所做的工作：任何不依赖于挑战的内容都可能提前准备。它没有显示使用了哪些硬件或使用了多少硬件；上述机器为所报告者。搜索代码未公开。commit.json 在轮次之前记录了其 SHA-256，因此该代码的后续发布可以与之匹配，但仅凭哈希并不能表明此代码生成了该证书。证据依赖于 drand（没有 League of Entropy 成员的阈值提前揭示该轮）以及两个时间戳机构的时钟和密钥。只有 commit.json 和 certificate.json 带有独立时间戳；挑战规则本身没有。

检查：python timing/verify_timing.py --online（约 30 秒）。没有 --online 时，信标仅检查内部一致性；此脚本不验证其 BLS 签名。

未包含的内容

找到 y₊ 和 y₋ 的搜索过程不属于此仓库。验证结果并不需要它。

这是如何制作的

这项工作由 Benjamin Weisz 指导，他设定其目标、决定出版并对其内容负责。几乎所有代码、计算和文档均由一个 AI 系统（Anthropic 的 Claude）在该指导下生成。结果并不依赖于信任 AI：

该界通过球算术检查；
零数据可以重新生成；
相同的声明使用不同的软件第二次验证，即不使用 FLINT 的 mpmath 区间算术（verify/verify_bound_mpmath.py）；
两次独立的审稿复核用各自的代码重新推导了计算，对照 Odlyzko 已发表的表格检查了零点数据，对照 Odlyzko–te Riele (1985) 和 Hurst (2018) 检查了定理及其假设（他们无法访问 Ingham (1942)），并重新核查了计时证据。审稿人是 AI 智能体，而非人类审稿人；这项工作尚未经过同行评审。

许可与引用

代码（verify/ 和 timing/*.py）采用 Apache License 2.0，数据和文档采用 CC BY 4.0，第三方计时文件遵循其发布方的条款：见 NOTICE。请引用 Zenodo 记录：所有版本引用 doi:10.5281/zenodo.23298194，或版本 1.0.0 引用 doi:10.5281/zenodo.23298195；元数据也见 CITATION.cff。改进后的界（如有）将作为本记录的新 Zenodo 版本发布。