arXiv cs.AI· Xiaodong Feng, Haojiong Shangguan, Tao Tang, Xiaoliang Wan·· 1 天前AI 评分20
一种求解时间相关偏微分方程的混合 FEM-PINN 方法
A hybrid FEM-PINN method for time-dependent partial differential equations
AI 导读
研究者提出一种混合数值方法，将时间有限元法与深度神经网络结合求解演化偏微分方程：时间方向用有限元基函数，空间相关系数由神经网络输出，再经 Galerkin 或 collocation 投影得到方程组并在 PINN 框架下近似。
正文 · AI 翻译
摘要：在本工作中，我们提出了一种混合数值方法，通过将时间有限元法与深度神经网络相结合来求解演化偏微分方程（PDE）。与传统的基于深度学习的公式化方法（其中神经网络定义在时空域上）不同，我们的方法在时间方向上利用有限元基函数，其中空间相关系数被定义为神经网络的输出。然后，我们在时间方向上应用 Galerkin 或配点投影，得到关于空间相关系数的 PDE 系统，并在 PINN 框架下对其进行近似。这种混合公式化的优势有两方面：避免了时间方向上积分的统计误差，并且神经网络的输出可以被视为一组缩减的空间基函数。为了进一步缓解高维度和低正则性带来的困难，我们开发了一种自适应采样策略来细化训练集。更具体地说，我们使用显式密度模型来近似由 PDE 残差诱导的分布，然后用学习到的密度模型给出的新的时间相关随机样本扩充训练集。我们提出的方法的有效性和效率已通过一系列数值实验得到证明。
| 评论： | 38 页 |
| 主题： | 数值分析（math.NA）；人工智能（cs.AI） |
| 引用为： | arXiv:2409.02810 [math.NA] |
| （或 arXiv:2409.02810v2 [math.NA] 用于此版本） | |
| https://doi.org/10.48550/arXiv.2409.02810 由 DataCite 颁发的 arXiv DOI |
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来自：Xiaodong Feng [查看电子邮件]
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2024年9月4日星期三 15:28:25 UTC（720 KB）
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2026年11月11日星期三 00:58:26 UTC（7,795 KB）
来源：arXiv cs.AI · arxiv.org