数学插画如何做到严谨：从 GPT-6 Astra 发现首个三维非周期单密铺谈起

[这是 Kate Stange 和 Edmund Harriss 的客座文章。这篇博文最初以另一种文件格式撰写，并使用 AI 进行了转换。——T.]

今年一月，一群数学家、历史学家、艺术家和教育工作者聚集在亨利·庞加莱研究所（IHP），参加一场关于数学意义的非常特别的研讨会。作为关于插图在数学研究中应用的特殊三个月学期的一部分，我们那一周的重点是提出这样一个问题：一幅插图要做到严谨意味着什么[1]？我们当时没有预料到，仅仅六个月后，围绕人类数学实践的定义所产生的一系列问题会显得如此紧迫。我们的讨论促成了一篇文章，这篇文章是在夏季围绕 Leiden Declaration [2] 的背景下撰写的，现已被《Notices》[3] 接收。过去一两个月里，人们发自内心地纷纷表达观点，讨论作为一名人类从事数学意味着什么，以及在不久的将来它将意味着什么。从这些充满激情的讨论中可以明显看出，作为一名数学家具有许多各不相同的重要意义。数学插图，包括计算机图形学以及其他超越符号交流、诉诸我们感官的媒介，是人类数学家超越证明写作的活动之一。它作为一门学科自身的挣扎，或许能为数学从今往后的走向提供一些洞见。

我们首先回顾一下现状。Bryna Kra [4] 描述了当前问题的核心。多年来，定理产出已成为衡量成功的最重要标准。职位和奖项都取决于此。但它一直只是某种更难衡量之物的代理指标：理解。深刻的定理稀少且困难，因此它们能可靠地标识出深刻的思想。AI 打破了这种稀缺性。对她而言，一个证明是“一个故事、一幅图景、一种洞见、一种解释”。Silvia De Toffoli 和 Eamon Duede [5] 进一步强化了这一视角，拒绝接受数学是一场机器如今可以获胜的游戏的观念。数学的目标不仅仅是一个可验证的解。数学是“一个由学术共同体参与、解释和消化的知识体系”，而不是一份成果登记册。Matilde Marcolli [6] 走得更远：那些大定理从来都不是重点，只是共同体选择的一种价值体系，而选择可以再次做出。Grant Sanderson [7] 则追问这在实践中意味着什么：我们如何真正认可数学工作和理解所采取的其他形式？

过去，其他形式的认知也曾得到认可。我们的论文从十九世纪加斯帕尔·蒙日的巴黎综合理工学院数学训练中要求的手绘开始。在一月的研讨会上，历史学家 Frédéric Brechenmacher 明确指出了这一点：“绘图即认知。”[8] 我们追溯了这一传统在二十世纪如何被搁置，但尽管如此仍然延续下来，部分体现在 1990 年代关于数学中证明与意义关系的近期辩论中。当时，为回应 Arthur Jaffe 和 Frank Quinn 的一篇有影响力的论文 [9]，许多数学家表达了他们的想法，其中最著名的是 Bill Thurston。在他如今被广泛引用的《论数学中的证明与进展》[10] 中，他为自己的工作辩护，反驳 Jaffe 和 Quinn 的批评。其他许多回应也值得一读 [11]。De Toffoli 和 Duede 所属的领域——数学实践哲学 [12]——在整个学术共同体中系统地研究这些问题。

代数数星景：有理三次多项式的复根。右图是 Steve Trettel 编写的着色器；代码见 shadertoy。

“图解数学”社区正是从这种绘制和制作数学对象的传统中发展而来。它在 2019 年于 ICERM 的一个学期中成形，并进而组织了今年的 IHP 三个月活动 [13]。它汇聚了积极开发数学图像、模型、软件和体验的数学家。一个特别的焦点是图解作为研究方法所扮演的角色：探索数学，而不仅仅是解释数学。正如一个好的证明所展示的远不止其结果，一幅好的图解所做的也远不止展示一种形式或模式。

我们自己关于代数星景的工作 [14]，包括上面的图像，就是一个不大的例子（与 Steve Trettel 合作，Jayadev Athreya、Gabriel Dorfsman-Hopkins 和 Claudio Gonzalez 也参与其中）。这些图片展示了有理三次多项式复根中的精细结构。当我们转而使用着色器来绘制图像（右侧）时，代码的朴素初稿把圆变成了椭圆。但我们意识到，这种无意的扭曲揭示了一个额外维度的有意义结构。这些图片展示的是尚未被探索的数学，而不是解释已知的东西。

当然，证明和图解都可能产生误导，尤其是在研究中。LLM 的能力是有代价的。就图解而言，它们生成代码的能力使图解比以往任何时候都更容易获得。然而，通过 vibecoding，我们现在离知识有两步之遥：甚至生成算法本身也可能不被理解。

就证明而言，这种“消化”问题如今已成为焦点。本月 [15]，在 Ioannis Tsiokos 的推动下，GPT-6 Astra 发现了 Chair44，这是第一个三维非周期单铺块。Tsiokos 分享了一篇 61 页的论文 [16]。他说他理解了直观的几何论证，但不理解其中的数学。随后 Chaim Goodman-Strauss 将论证提炼为八页 [17]，围绕一幅匹配箭头图展开，使超铺块结构变得可见，从而给出了非周期性的经典层级证明。形状本身的图解（在 Tsiokos 的论文中）是揭示关键思想的重要线索。

那么回到我们最初的问题，面对这些问题，插图如何才能严谨？在论文中，我们借鉴了 Valeria Giardino 关于表征作为思维工具的理论（Endeavour 42, 2018）[18]，该理论考虑了插图的示能性：图形所引发的解读、操作和推理。我们或许可以选择一个更强的示能性定义：证明所证实为准确的插图属性。反过来，证明可以表明某个表面属性并非示能性。例如，曼德博集合的早期图像似乎显示它是不连通的 [19]，但在像素化图像中，比像素间距更细的特征可能会被遗漏 [20]。另一方面，诸如主心形线外特定大小的芽苞数量等属性，只要像素尺寸相对较小，就可以被证明是正确的。

如果这解决了图像的准确性问题，那么它的参与度或揭示能力呢？这些问题没有明确答案，但并非不重要。它们也是学术艺术对其学生作品提出的问题，而艺术有一种久经考验的方法：“crit”（批评课）。在研讨会上，艺术基础教授 Jean Schmitt 帮助我们建立了一个 crit 框架，我们在整个学期中一直使用。Crit 是对作品的讨论，通常以最少的介绍呈现，以揭示观众如何接受它。这种接受与创作者意图之间有何异同？这为我们已经在进行的非正式对话提供了更正式的结构，并将讨论置于一个公共空间。Crit 与 Gelfand 的莫斯科讨论班风格有某些共同之处。

Schmitt 的研讨会演讲 [21] 借鉴了 Tim Ingold 通过制作来思考的理念（Making, Routledge, 2013）[22]，其中形式和理解通过过程并在与可用工具和材料的协作中涌现。同样，Monge 的学生被期望通过绘图过程来学习，而不是通过观察他人的绘图。价值和理解往往同样来自创作的努力，无论是插图还是证明，也来自观看他人创作的作品。

这些来自艺术的想法使数学界一直隐含的某些东西变得明确和可见。作为一名数学家，既意味着成为他人工作的兴奋观众，也意味着展示或创造我们自己的研究。作为一个共同体，我们重视美学、优雅和洞察力，并通过我们的互动发展了这些共同价值观。出版和先前未证明结果的过度重要性仅仅掩盖了这些更广泛的价值观，但人们一直在努力寻找方法，以确保我们对此给予认可。

支持这些更广泛价值的基础设施也一直在发展。Geometry Labs United 网络 [23] 汇聚了众多大学中的团体，本科生和研究生与博士后及教师一起工作，将数学作为研究、实验和可视化来探索。这为通过制作证明、实验、阐述和插图来学习提供了一个自然空间。在许多情况下，证明可以更具情境性，证明某个特定实验或插图的可供性。通过制作来学习也与数学教育领域的工作相契合。在我们研讨会的最后一场演讲中，Hortensia Soto 展示了与实体材料打交道如何支持学习者在理解之路上的行动、感知和感觉 [24]。

回应 Sanderson 关于认可证明之外事物的呼吁，最重要的莫过于认可并发展已经完成的工作。这项工作正在 Illustrating Mathematics 社群中发生，但也在数学实践哲学、Geometry Labs 以及许多其他地方发生。洞见通过与数学教育、外展甚至艺术的连接而被发现。这项工作正在发生：正如 Sanderson 所主张的，它需要的是支持。有了支持，我们就能实现 Bryna Kra 所描述的：一种继续

“扩展我们推理的能力，并敞开我们的思想去接纳新的理解方式”的数学。[4]

参考文献

[1] Rigorous Illustrations: Their Creation and Evaluation for Mathematical Research，研讨会（2026 T1 WS1），亨利·庞加莱研究所，2026 年 1 月。议程与演讲：https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/

[2] Jarod Alper、Michael Barany、Alain Chavarri Villarello、Sander Dahmen、Walter Dean、Karthik Ganapathy、Michael Harris、David Holmes、Mateja Jamnik、Steven Kelk、Bryna Kra、Ursula Martin、Bartosz Naskręcki、Rodrigo Ochigame、Jim Portegies 和 Johannes Schmitt，Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics，2026 年。https://doi.org/10.5281/zenodo.20302944

[3] Edmund Harriss 和 Katherine E. Stange，Mathematical Illustration: Proof, Intuition and AI，Notices of the American Mathematical Society，即将发表。https://arxiv.org/abs/2610.02655

[4] Bryna Kra，“Deep theorems were scarce and difficult and so became an effective mechanism to identify deep thought. AI has broken this system.”，客座文章，What’s new，2026 年 9 月 13 日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/13/deep-theorems-were-scarce-and-difficult-and-so-became-an-effective-mechanism-to-identify-deep-thought-ai-has-broken-this-system/

[5] Silvia De Toffoli 和 Eamon Duede，After Math，客座文章，What’s new，2026 年 9 月 12 日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/12/after-math/

[6] Matilde Marcolli，关于 AI 与数学的文章，2026 年。https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf

[7] Grant Sanderson，If math is more than proof, we need to better celebrate the rest of it，客座文章，What’s new，2026 年 9 月 18 日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/18/if-math-is-more-than-proof-we-need-to-better-celebrate-the-rest-of-it/

[8] Frédéric Brechenmacher，The flat and the relief: Geometric material models in 19th century France，在 [1] 上的演讲，2026 年。https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.007

[9] Arthur Jaffe 和 Frank Quinn，'理论数学'：迈向数学与理论物理的文化综合，Bulletin of the American Mathematical Society 29 (1993), 1–13。

[10] William P. Thurston，论数学中的证明与进展，Bulletin of the American Mathematical Society 30 (1994), 161–177。

[11] Michael Atiyah、Armand Borel、Shiing-Shen Chern 等，对 A. Jaffe 和 F. Quinn 的'理论数学：迈向数学与理论物理的文化综合'的回应，Bulletin of the American Mathematical Society 30 (1994), 178–207。

[12] Silvia De Toffoli 和 Paolo Mancosu，数学实践哲学，The Stanford Encyclopedia of Philosophy，2026。

[13] Rémi Coulon、Gabriel Dorfsman-Hopkins、Edmund Harriss、Martin Skrodzki、Katherine E. Stange 和 Glen Whitney，论插图对数学研究的重要性，Notices of the American Mathematical Society 71 (2024), no. 1, 105–115。

[14] Edmund Harriss、Katherine E. Stange 和 Steve Trettel，代数数星景，Experimental Mathematics (2022)。

[15] Konstantin Kakaes，软件开发者发现首个 3D“爱因斯坦”瓷砖，Quanta Magazine，2026 年 9 月 23 日。https://www.quantamagazine.org/update/167384/

[16] Ioannis Tsiokos，Chair44 论文，arXiv:2609.19214，2026。https://arxiv.org/abs/2609.19214

[17] Chaim Goodman-Strauss，关于 Chair44 瓷砖的论文，arXiv:2609.24779，2026。https://arxiv.org/abs/2609.24779

[18] Valeria Giardino，思考的工具：数学的案例，Endeavour 42 (2018), no. 2–3, 172–179。

[19] Benoit B. Mandelbrot，对于复数 λ 和 z，z ↦ λz(1 – z) 迭代的分形方面，Annals of the New York Academy of Sciences 357 (1980), no. 1, 249–259。

[20] Adrien Douady 和 John H. Hubbard，复二次多项式的迭代，Comptes Rendus de l’Académie des Sciences, Série I Mathématique 294 (1982), 123–126。

[21] Jean Schmitt，在 [1] 的演讲，2026。https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/contributions/14965/

[22] Tim Ingold，制作：人类学、考古学、艺术与建筑，Routledge，2013。

[23] Jayadev Athreya、David Dumas、William Goldman、Sergey Grigorian、Rosemary Guzman、Philipp Hieronymi、Sean Lawton、Anton Lukyanenko、Jeremy Tyson 和 Aaron Wilson，几何实验室联合：一份邀请，Notices of the American Mathematical Society 65 (2018), no. 9, 1088–1093。

[24] Hortensia Soto，严谨而灵活的插图：邀请可能性的领域，在 [1] 的演讲，2026。https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.017