谁教会了机器数学？一位数学研究者谈 OpenAI 发布七百余份数学手稿

关于我们传承的知识，以及它的现状

10月6日，OpenAI发布了由内部AI系统生成的七百多篇数学手稿，其中一些附有Lean形式化证明，另一些则处于不同的验证阶段。我实在无法鼓起勇气去逐一翻阅这些论文清单。这让我想起2021年，当时我担任FOCS程序委员会主席，短短几天内收到了大约四百份投稿。那时，我满怀兴奋地想知道我的学术共同体产出了什么。而这一次，感觉像是从火星上扔来了一个包裹。我点开了几个自己过去关心的问题，但没有再往下读多少。我感到一种奇怪的疏离感，而我的好奇心不足以克服它。

5月，我写了一篇题为The Branch and the Wish的文章，探讨当机器能够生产出数学家长期以来用以衡量自身成就的东西时，数学可能会发生什么。我当时的担忧不是机器会产出错误的数学，而是当它们变得非常擅长产出正确证明时，可能会发生什么。长期以来，数学已经习惯于将其可见的产出——定理、证明、论文——等同于这项活动本身，而那些年复一年的失败尝试、直觉与品味的培养、以及一位数学家的成长过程，则变得越来越难以被看见。我借用了迦梨陀娑和迈达斯国王的故事来描述这一困境。我们曾许愿，希望证明能够被明确表达、验证，并独立于其生产者而保存下来。这些都是美好的愿望。但当机器开始实现它们时，我们可能会发现这些愿望遗漏了什么。

当一位数学家宣布一项结果时，他们的声誉便与这一声明绑定在一起。一位数学家可能花费数月、有时是数年时间研究一个问题，并且在宣布之前，理应理解论证并做出判断。数学家会犯错（我也犯过），即使是最优秀的人也发表过错误的证明。但一个严重的错误可能会影响他人对其工作多年的看法。而OpenAI则可以发布数百篇手稿，承认其中一些可能包含错误，并邀请社区来审查它们。公司因成果的数量而获得关注，而个别错误的后果则要分散得多。我不确定数学界用以维持信任的那些惯例，是否是为这种产出和宣布结果的方式而设计的。

接下来是谁来做检查的问题。一位数学家可能需要数天或数周才能理解一个不熟悉的证明，梳理其细节，判断该陈述是否抓住了原始问题，并将其与已知结果进行比较。形式化证明系统能提供相当大的帮助，但判断哪些结果更重要则是另一回事。为此，我们可能需要另一台经过训练的机器来识别数学品味。我不怀疑这样的东西可以被开发出来，但这不是这里所展示的内容。如果数百个结果同时涌现，理解它们所需的注意力并不会仅仅因为它们被发表就自动出现。公司可以相对廉价地生成这些结果，而数学家则要决定哪些值得他们花时间。在我五月的文章中，我担心验证是一种通过长期学徒训练培养出来的技能，如果数学越来越多地委托给机器，这种技能可能会退化。现在还有另一种可能：现有的验证能力可能仅仅因为产出的材料数量而被压垮。

我也不由自主地想到我在数学和理论计算机科学上训练学生、向同事解释我成果内部运作机制所花费的无数小时。我们研究唯一游戏猜想、最稀疏割、图拉普拉斯算子、优化及相关问题，包括一些OpenAI现在声称已解决的问题。其中许多内容不会出现在教科书甚至研究论文中。为什么某个归约是有用的，为什么一个看似自然的进路行不通，如何识别你面对的是错误的问题表述，以及当论证卡住时该尝试什么。在多年做数学的过程中，一个人会学到无数小技巧和步骤，往往来自自己的老师和合作者。我传递了我自己的训练和直觉，而这些又来自他人。其中一些被写了下来，但很多没有。它存在于对话中、黑板上、反复尝试理解某事为何成功或失败的过程中。我记得有一次，一位同事说服我在STOC之后改变计划，陪他们去他们的大学，以便我能非常详细地解释我关于度量嵌入的最新结果。这些交流花费了大量时间，而它们是我最在意的学术生活的一部分。

许多在大学里受过训练、包括一些我教过并共事过的数学家，已经进入了AI公司。我自己也曾在工业界从事研究，我从未对这种流动有意见。我的部分理解是由早期的工业研究实验室塑造的，那里有一种开放的文化，研究人员常常自由地参与更广泛的数学界。我担心我们彼此传授的数学知识最终可能被用来训练机器做数学，包括我们学到的许多不成文的技巧和中间步骤，用来自己解决问题。我不知道这些知识究竟如何进入机器，也不知道有多少能以此方式转移。但我发现自己思考着更大的图景。大学花费数年培养人才，其中许多依靠公共支持，并通过一种知识本应共享的智识文化。公司随后招募这些人，汇集几代人积累的专业知识，并用它来构建系统，其目的越来越是完成同样的智识工作。由此产生的能力成为专有资产，用大学自身无法匹敌的资源和计算基础设施构建。

我不认为这些知识属于我或任何特定的人。我也不认为任何人欠我什么，除了我们作为共同工作的人彼此所欠的。我学习数学是因为他人自由地付出了时间和知识，我也希望为下一代做同样的事。学生后来做出我做不到的事情，这种可能性正是意义的一部分。但我曾把这想象为人类活动的延续。我在帮助某人学习做数学，也许那个人会继续教别人，发现我未曾发现的东西，并把我们所学到的一些东西带入新的方向。我无法想象把这种知识当作需要守护的东西。它的价值部分在于它可以被传递。同样的传递过程现在可以成为构建系统的一部分，这些系统旨在越来越多地完成这项工作，而无需人类数学家。

我会称这是一种提取，尽管不是简单的那种。工业界长期以来一直支持数学，许多重要的思想和工具都来自工业实验室。也没有理由认为大学里发展出的知识应该留在大学内。但研究开放参与领域发展的工业实验室，与收集公开发展的知识和专业知识以创建专有系统的公司之间，是有区别的。花费数十年发展这些知识的人，对于现在用它构建的东西几乎没有发言权。我曾视为理所当然的大学与工业界之间的交流，可能不再以完全相同的方式运作。而那些曾经支持数学知识自由流通的机构，可能会发现自己越来越依赖控制着由此产生的技术的公司。

我们中最杰出的一些数学家鼓励更广泛的社群与 AI 系统合作。我理解这种兴奋。这些系统如今能做出几年前难以或无法想象的数学。但我们究竟在鼓励数学家做什么？当一位数学家花数小时与专有 AI 系统合作，纠正其错误，解释某种方法为何行不通，并提出更好的方法时，他们可能以为自己只是在用工具推进研究。但他们也可能在分享历经数年、有时是数代人才发展出的数学判断力。并非每次交互都必然被保留或用于训练模型，各系统的安排也不尽相同。尽管如此，这些交互仍可能成为进一步训练和改进的来源。这些工具可能有用，而这种有用性促使人们与它们合作。但被呈现为人类与 AI 协作的过程，也可能成为公司积累数学界未成文知识的另一种方式。这种鼓励部分来自那些判断力和声望在社群中具有分量的数学家。

这次发布也影响了 AI 公司与数学家之间的关系。即使在那些曾鼓励数学家与 AI 合作的人中，如今也对这次发布的经过感到沮丧。一个独立的数学家顾问小组澄清，其参与不应被理解为对这一过程的认可，而一些数学家已呼吁终止与 OpenAI 的合作。我本不会预料到一次旨在展示数学能力的发布竟会引发如此不信任。我也想到那些在这些问题上钻研了数年的学生和博士后。无论证明最终正确与否，他们的工作都已被打乱。而如果证明是正确的，他们也无法像从前那样简单地回去探索这些问题。我能理解这种愤怒，但我不确定退出 AI 就是答案。对这些系统感兴趣的年轻数学家可能会发现自己夹在探索它们与继续留在数学社群之间。我不希望选择变成要么接受 AI 公司设定的方向，要么完全拒绝接触这项技术。

我花在向学生和同事解释数学上的那些时间，所有非正式的交谈、失败的方法、从未写进论文的小技巧——这一切在职业中都不太算数。算数的是论文、定理、引用、h 指数、奖项、菲尔兹奖以及其他形式的认可。我并不特别介意这些交谈不被计入。我做这些不是为了认可，如今也不想给它们标价。但我们在自己职业中不知如何估值的许多东西，如今可能正是那些制造机器来做数学的公司最有价值的东西之一。我们早已把完成的成果当作数学成就的衡量标准，而数学家借以发展理解的活动则沦为次要。既然机器开始自己产出这些成果，或许我们也该问问，我们一直在对数学做什么。 

如果回应是要围绕另一套奖项、荣誉和专业认可形式来重组人类数学，这一次是为了保护它免受 AI 的冲击，我不确定会有什么改变。我并不特别想捍卫数学职业现有的样子。多年来，我对它的许多方面已经不再抱有幻想。数学在这些如今组织它的制度和激励出现之前就已存在，想必也会在它们消亡之后继续存在。但当专业认可成为一种智识生活的组织目的时，有些东西就已经失去了。我更愿意看到数学家把时间花在他们觉得有趣的问题上，而不必担心这项工作是否会带来一篇论文、一个奖项或一次晋升。我更愿意看到更多时间被用来深入地把一个想法教给某人，就像我的老师和同事当年对我那样，而不去问这种交流可能带来什么职业上的好处。如果机器能比我们产出更多定理，那并不意味着人类从事数学的理由就变少了。

一个学生可能花数年时间苦苦钻研一个问题，却没有得出什么著名的定理，却获得了一种难以衡量的理解。机器可能几小时就能解决同一个问题。如果结果才是唯一重要的，那么机器更高效。

我曾希望，等我的孩子大一些，我能和他们一起用一个下午，对着一张纸，分享一些曾给我带来如此多快乐的数学技巧。不是因为期望他们成为数学家，而是因为我想让他们体验别人曾耐心展示给我的东西：当一个难题换一种方式去看时，怎么会突然显得简单。我想象着我们卡住、再试别的办法，最终找到出路。

等他们准备好时，答案可能在我们还没开始之前就已经在那里了。

我不确定我曾想象的那个下午还会有怎样的位置。

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