AI 时代的无我数学：数学的价值不在于产出结果

[这是一篇由 Karthik C. S.、Amit Sahai 和 Jie Xue 撰写的客座文章。本博文最初以不同的文件格式撰写，并使用 AI 进行了转换。—— T.]

现在是数学家认真思考其工作目的的好时机。人工智能的发展以前所未有的力度将这一问题摆在我们面前。许多讨论关注机器将执行哪些任务，以及哪些能力将仍然为人类所独有。但我们的回应也取决于一个更先前的问题：我们如何理解数学工作，以及是什么赋予了它价值？如果我们的答案已经与成果的产出和个人能力的展示密不可分，那么当前的不确定性或许揭示了我们关于这项工作本身之构想中的一处困难。

对数学大体上有两种视角。按照其中一种，我们在构造数学的同时发明了它：我们引入概念、选择公理并发展理论。按照另一种，数学独立于这些活动而存在，我们的任务是发现它。这些视角未必在数学实践的每个方面都存在分歧。我们显然在发展形式体系和论证。更深层的问题是，我们所理解的那些真理，其存在是否归功于这些行为，还是我们的构造使我们得以认识某种并不依赖于我们的东西。

尽管对数学真理的发现听起来可能是被动的，但寻找化石的古生物学家必须决定在哪里挖掘、发展技术，并识别不完整遗骸的意义。化石早在考察之前就已存在，但找到它们可能需要非凡的想象力。它们的先前存在为考察者的活动指明了方向。同样，一项数学发现可能需要发明一整套语言和框架，通过它，一种此前未被注意的关系才变得可理解。这一发现可能需要极大的创造力，但这并不使所发现的真理成为个人的创造。每当我们的构造令我们感到意外时，我们都会遇到这种区分。为某一目的引入的定义在别处揭示出意想不到的联系。一个似乎能组织我们例子的猜想却容许反例。通过不同问题发展出的两个理论原来表达着一种共同结构。在每种情形中，我们的思想都遇到了某种它并非自由决定的东西。我们可以修改定义或放弃猜想，但我们不能仅凭一厢情愿就使原来的论证成立。

柏拉图式视角为这种独立性提供了一种自然的说明。按照这种观点，在任何人证明这一事实之前，就已经存在无穷多个素数。数学真理既不等待我们的承认，也不从我们这里获得其权威。我们可以选择如何描述一个结构，但我们不能以同样的方式选择它的性质。这一视角也改变了数学家的位置。我们的智能成为一种手段，通过它，一种独立于我们的秩序得以被理解。这项工作的意义在于它与那种秩序的关系。

正确的推导与对其意义的理解之间的区别同样重要。一个公理系统允许无穷多的演绎，但能够产生这些演绎本身并不能提供有价值的研究方向。数学陈述可以在形式上正确而不具有启发性。我们可以引入无数定义并证明关于它们的无数陈述。是什么使一个定义具有启发性？为什么一个定理揭示了某种根本性的东西，而另一个只是增加了可用的材料？这些问题涉及特定研究与它所呈现的原理之间的关系。数学品味在这里有一席之地，前提是我们将其理解为不止于个人偏好。当一个理论揭示了先前被分别理解的事物之间的统一性，或使我们能够认识到某一现象为何发生时，我们便珍视它。尽管数学真理可能独立于我们而存在，但它们的发现可以改变我们的理解并丰富我们对世界的体验。进行更长推理链的能力本身并不能解释这种理解。推理通过阐明关系并使其辩护变得明确来服务于理解。然而，推理的成功并不意味着所有知识都可以还原为它。我们进行更广泛推理的能力也不能决定什么值得知道或我们为何寻求知识。

数学只是知识的一个领域。并非一切都能用数学来理解，数学成就也不是智识生活的终极目的。然而，我们越来越多地通过出版物、引用、奖项和其他绩效指标来衡量智识生活。这些衡量标准虽然有用，但当它们界定工作本身的价值时就变得有问题了。我们开始把数学家视为生产能力的集合，把数学仅仅视为它们的产出。从这个角度看，对被AI取代的焦虑是自然的：一台更好地执行这些任务的机器似乎威胁到了我们的价值。但问题在AI到来之前就已经开始了。我们早已开始以适合机器的术语来理解自己。AI只是暴露了这种观点的后果。

应对之道不能仅仅是退避到创造力、直觉或品味等独特的人类能力中。如果我们珍视这些能力主要因为它们赋予我们相对于机器的优势，我们就仍然被困在同样的智识价值观念中。为什么我们追求的价值应该取决于比某人或某物更擅长它？

数学提供了一个重新考虑这整个取向的机会。数学真理不会因为表达它的人的不同而变得更真。在理解一个证明时，我们使自己的思想与一种其有效性不属于我们的关系相一致。我们到达它的特定路径可能带有我们个体性的印记。被理解的东西可以超越那种个体性而为人所用。我们可以让这一经验松动这样一种信念：知识的最高价值在于作为可归因于我们自己的成就。

无我的数学始于认真对待这种可能性。谦逊由此超越了对自身成就的谦虚或分享功劳时的慷慨。它关乎我们追求知识时所立足的位置。我们可能为了服务于既有的目的而寻求真理，也可能让所发现的东西改变这些目的本身。如果我们接近真理的条件是：它的发现必须维护我们的重要性，那么我们早已将它置于自身之下。完成这种重新排序可能颇为艰难，因为智识上的老练能够为那些恰恰阻碍我们理解的执念提供精巧的辩护。真正重要的是，我们的能力是否始终服从于真理，包括当真理要求我们重新审视自己一直用这些能力来做些什么的时候。

从这个角度看，AI 带来数学发现的可能性，不必成为对我们自身目的的悲叹之源。一项真理变得可及；它的价值并不因我们并非发现者而减损。我们不必立刻把这一事件变成对自身相对重要性的评判。探索可以继续，而不要求每一次进展都证明探索者的价值。事实上，这种对证明的要求一直拖累着追求，无论竞争的主张来自另一位数学家还是来自一台机器。

因此，我们面前的机会远不止是重新安排数学劳动。它邀请我们重新思考是什么赋予智识生活以价值，并让对真理的追求不仅塑造我们的工作，也塑造我们对待生活的方式。

这听起来像是在要求我们都成为圣人。就它要求我们在德性上成长、放下对自身重要性的执念而言，这种印象离真相并不远。但德性不是为了博得他人赞赏而培养的。即便在我们的工作中，它也是真正喜悦所必需的。解决一道难题或赢得一个奖项的满足感，当它建立在与他人的相对地位之上时，可能是短暂的。理解的喜悦则不同。某个先前晦涩的东西变得清晰，我们认识到一种美，而这种美不会因为别人先发现它而减损。我们可以分享这份喜悦，而不剥夺任何人的喜悦。在德性上成长让我们能更充分地体验它，摆脱确立自身重要性的需要。

这一视角或许也有助于调和数学界内部关于 AI 的两种立场。有些人对使用 AI 感到自在，甚至热情高涨，但希望为其使用制定适当的流程和原则。另一些人则倾向于完全不使用 AI。两种立场各有其道理。无我的数学提供了一种调和它们的方式，引入一种更高的考量：无论我们选择如何追求，两种做法都可以体现对数学真理同样的根本承诺。我们这里的目标不是解决具体的政策问题，而是发展一种更高层次的视角，以指导我们的思考，并最终指导我们的行动。

从这个角度看，我们不必害怕 AI 在数学上可能取得的成就。数学在我们任何人出生之前就已经美丽，在我们离去很久之后仍将美丽。它的价值不取决于我们的成就，我们理解它的喜悦也不必取决于我们是否是做出发现的人。我们的意义在于我们愿意让真理主宰我们所寻求的以及我们所成为的。

作为本文的作者，我们远未达到这种无我的境界。尽管如此，我们认识到这是一个我们愿意努力追求的理想。

我们以一个思想实验作结。据说拉马努金曾说过：“一个方程对我没有意义，除非它表达了一种上帝的思想”（Robert Kanigel, The Man Who Knew Infinity, 1992）。如果他今天还活着，目睹 AI 在数学上的进展，他会不会因为这些进展对他作为数学家的意义而感到不安？

AI 使用声明：虽然此处表达的观点完全是我们自己的，但我们感谢 GPT Astra 6.0 和 GPT 6.1 Sol 在起草本文时提供的协助。